Question

18．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁：ρ²-4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]，曲线C₂：ρ=$\frac{3}{{4sin（{\frac{π}{6}-θ}）}}$，θ∈[0，2π]．
（Ⅰ）求曲线C₁的一个参数方程；
（Ⅱ）若曲线C₁和曲线C₂相交于A、B两点，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （I）曲线C₁：ρ²-4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]，可得直角坐标方程：x²+y²-4x+3=0，配方为：（x-2）²+y²=1，利用x-2=cosα，y=sinα，即可得出曲线C₁的一个参数方程．
（II）曲线C₂：ρ=$\frac{3}{{4sin（{\frac{π}{6}-θ}）}}$，（θ∈[0，2π]0，展开可得：4ρ$（\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=3，即2ρcosθ-2$\sqrt{3}$sinθ=3，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$d代入可得直角坐标方程．利用懂得珍惜可得圆心到直线l的距离d，可得|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．

解答 解：（I）曲线C₁：ρ²-4ρcosθ+3=0，θ∈[0，2π]，
可得直角坐标方程：x²+y²-4x+3=0，配方为：（x-2）²+y²=1，
利用x-2=cosα，y=sinα，可得曲线C₁的一个参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数，α∈R）．
（II）曲线C₂：ρ=$\frac{3}{{4sin（{\frac{π}{6}-θ}）}}$，（θ∈[0，2π]0，展开可得：4ρ$（\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=3，
即2ρcosθ-2$\sqrt{3}$sinθ=3，可得直角坐标方程：2x-2$\sqrt{3}$y-3=0．
圆心到直线l的距离d=$\frac{|2×2-0-3|}{\sqrt{{2}^{2}+（-2\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{1}{4}$，∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{1-\frac{1}{16}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．