Question

8．已知函数f（x）=4sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+1．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）在△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=2，a=3，S_△ABC=$\sqrt{3}$，求b²+c²的值．

Answer 1

分析 （1）根据两角和的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由正弦函数图象及性质即可求得函数f（x）的单调递减区间；
（2）f（A）=2，根据A的取值范围求得A的值，由三角形面积公式即可求得bc的值，利用余弦定理即可求得b²+c²的值．

解答 解：（1）f（x）=4sinx（cosxcos$\frac{π}{6}$-sinxsin$\frac{π}{6}$）+1，
=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2sin²x+1，
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x，
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），…（4分）
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得：kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）；…（6分）
（2）∵f（A）=2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=2，
∴sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1．…（7分）
又∵0＜A＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{6}$．…（8分）
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\sqrt{3}$，
∴bc=4$\sqrt{3}$．…（9分）
由余弦定理可知：a²=b²+c²-2bccosA，
∴9=b²+c²-12，
∴b²+c²=21．…（12分）

点评 本题考查三角函数的恒等变换、三角形面积公式、余弦定理以及三角函数图象与性质的综合应用，熟练掌握相关定理及公式是解题的关键，属于中档题．