题目内容
4．长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，cos∠ACE=$\frac{{5\sqrt{3}}}{9}$，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为4或$\sqrt{51}$．分析 设AB=2x，则AE=x，BC=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，由余弦定理可得x2=9+3x2+9-2×3×$\sqrt{9+3{x}^{2}}$×$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，求出x，即可求出球O的直径．
解答 解：设AB=2x，则AE=x，BC=$\sqrt{9-{x}^{2}}$，
∴AC=$\sqrt{9+3{x}^{2}}$
由余弦定理可得x2=9+3x2+9-2×3×$\sqrt{9+3{x}^{2}}$×$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，
∴x=1或$\sqrt{6}$，
∴AB=2，BC=2$\sqrt{2}$，球O的直径为$\sqrt{4+4+8}$=4，
或AB=2$\sqrt{6}$，BC=$\sqrt{3}$，球O的直径为$\sqrt{24+24+3}$=$\sqrt{51}$．
故答案为：4或$\sqrt{51}$．
点评 本题考查球O的直径，考查余弦定理，考查学生的计算能力，正确求出AB是关键．
练习册系列答案
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14．在1，2，4，5这4个数中一次随机地取2个数，则所取的2个数的和为6的概率为（ ）
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{2}{5}$ | D． | $\frac{3}{5}$ |
15．设a，b表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
| A． | 若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b | |
| B． | 若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β | |
| C． | 若a，b是异面直线，a∥α，b∥β，a?β，b?α，则α∥β | |
| D． | 若a，b是异面直线，a∥α，b∥β，a?β，b?α，则α∥β |
12．已知复数z=$\frac{1+i}{1+2i}$（i为虚数单位），则（ ）
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| C． | $|z|=\frac{3}{5}$ | D． | z的共轭复数为$\frac{3}{5}+\frac{1}{5}i$ |
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| A． | f（-$\frac{1}{2}$）＞f（a2+a+1） | B． | f（-$\frac{1}{2}$）≤f（a2+a+1） | C． | f（-$\frac{1}{2}$）≥f（a2+a+1） | D． | f（-$\frac{1}{2}$）＜f（a2+a+1） |