Question

13．如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AB=a（a＞0），AC=2，AA₁=1，点D在棱B₁C₁上

（1）若点D为棱B₁C₁的中点（如图1），求证：AC₁∥平面A₁BD；
（2）若B₁D：DC₁=1：3（如图2），试问：当a为何值时，直线BB₁与平面A₁BD所成角的大小为30°？

Answer 1

分析 （1）取BC的中点E，利用面面平行的性质定理进行证明即可．
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立线面角之间的方程关系进行求解即可．

解答 （1）证明：取BC的中点E，连接AE，C₁E，
∵D为棱B₁C₁的中点
∴在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AE∥A₁D，
四边形BEC₁D为平行四边形，
则EC₁∥BD，
∵BD∩A₁D=D，
∴平面A₁DB∥平面AC₁E，
∵AC₁?平面AC₁E，
∴AC₁∥平面A₁BD．
（2）∵AB⊥AC，AB=a（a＞0），AC=2，AA₁=1，
∴建立以A为坐标原点，AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则A（0，0，0），B（a，0，0），C（0，2，0），A₁（0，0，1），B₁（a，0，1），
C₁（0，2，1）
∵B₁D：DC₁=1：3，
∴B₁D=$\frac{1}{4}$B₁C₁，
过D作DH⊥B₁A₁，
则DH=$\frac{1}{4}$A₁C₁=$\frac{1}{4}×2$=$\frac{1}{2}$，B₁H=$\frac{1}{4}$B₁A₁=$\frac{1}{4}$a，即HA₁=a-$\frac{1}{4}$a=$\frac{3}{4}$a，
即D（$\frac{3}{4}$a，$\frac{1}{2}$，1），
则$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（a，0，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（$\frac{3}{4}$a，$\frac{1}{2}$，0），
设平面A₁BD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=ax-z=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=$\frac{3}{4}$ax+$\frac{1}{2}$y=0，
令x=1，则z=a，y=-$\frac{3}{2}$a，即$\overrightarrow{m}$=（1，-$\frac{3}{2}$a，a），
$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，1），
∵直线BB₁与平面A₁BD所成角的大小为30°，
∴sin30°=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{B{B}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{B}_{1}}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{B{B}_{1}}|}$|=$\frac{a}{\sqrt{1+{a}^{2}+（-\frac{3}{2}a）^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{3}{4}$a²=1，a²=$\frac{4}{3}$，则a=$\sqrt{\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
即当a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，直线BB₁与平面A₁BD所成角的大小为30°．

点评 本题主要考查线面平行的判定以及线面角的应用，根据面面平行的判定定理证明线面平行，以及建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立线面角的关系是解决本题的关键．