Question

等比数列{a_n}中，a₁＞0．前n项和S_n＞0，则公比q的取值范围是（　　）

• A、（-1，0）∪（0，+∞）
• B、（-∞，0）∪（0，+∞）
• C、（-1，0）∪（0，1）∪（1，+∞）
• D、（-∞，-1）∪[1，+∞）}

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由题意，只需

1-qn

1-q

＞0恒成立，下面分类讨论：（1）当q＞1时，显然成立；（2）当q=1时，a₁＞0，S_n＞0一定成立；（3）当q＜1时，需1-qⁿ＞0恒成立，再分当0＜q＜1时，当-1＜q＜0时，当q＜-1时，当q=-1时，综合可得答案．

解答： 解：∵S_n＞0，∴a₁＞0，
∴

1-qn

1-q

＞0恒成立，
（1）当q＞1时，1-qⁿ＜0恒成立，即qⁿ＞1恒成立，
又q＞1，显然成立，
（2）当q=1时，只要a₁＞0，S_n＞0就一定成立．
（3）当q＜1时，需1-qⁿ＞0恒成立，
当0＜q＜1时，1-qⁿ＞0恒成立，
当-1＜q＜0时，1-qⁿ＞0也恒成立，
当q＜-1时，当n为偶数时，1-qⁿ＞0不成立，
当q=-1时，显然1-qⁿ＞0也不可能恒成立，
所以q的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）．
故选：A．

点评：本题考查数列{a_n}的公比的取值范围的求法，注意分类讨论思想的合理运用，属中档题．