Question

已知f（x）=

x+2

x+1

（1）利用函数单调性定义判断f（x）在区间（-1，+∞）上的单调性，并给出证明；
（2）求出函数f（x）在区间[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）f（x）在区间（-1，+∞）上单调递减．运用单调性的定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论；
（2）由（1）知：在f（x）在区间[2，6]上单调递减，即可得到最值．

解答： 解：（1）f（x）在区间（-1，+∞）上单调递减．
理由如下：设-1＜m＜n，则f（m）-f（n）=

m+2

m+1

-

n+2

n+1

=

n-m

(m+1)(n+1)

，
由于-1＜m＜n，则n-m＞0，m+1＞0，n+1＞0，
则f（m）-f（n）＞0，即有f（m）＞f（n）．
则f（x）在区间（-1，+∞）上单调递减；
（2）由（1）知：在f（x）在区间[2，6]上单调递减，
所以f（x）最大值=f（2）=

4

3

，
f（x）最小值=f（6）=

8

7

．

点评：本题考查函数的单调性及证明，注意运用定义，考查单调性的运用：求最值，属于基础题．