Question

定义在R上的函数f（x）满足：对任意x₁，x₂∈R，都有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

，则称函数f（x）是R上的凹函数．已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，a＞0）．
（1）求证：函数f（x）是凹函数．
（2）求f（x）在[-1，1]上的最小值g（a），并求出g（a）的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：计算题,证明题,新定义,函数的性质及应用

分析：（1）运用作差法，化简整理，再由新定义，即可得证；
（2）求出对称轴，讨论与区间的关系，运用单调性，即可得到最小值g（a），再由分段函数的值域可得．

解答： （1）证明：∵f（

x1+x2

2

）=a（

x1+x2

2

）²+

x1+x2

2

，

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

（ax₁²+x₁+ax₂²+x₂），
∴f(

x1+x2

2

)-

1

2

(f(x1)+f(x2))=a(

x1+x2

2

)2+

x1+x2

2

-

1

2

(a

x

2 1

+x1+a

x

2 2

+x2)
=-a(

x1+x2

2

)2，
∵a＞0，∴-a(

x1+x2

2

)2≤0，
即f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂））
∴函数f（x）是凹函数．
（2）对于函数y=ax2+x，其对称轴是x=-

1

2a

＜0
①当-

1

2a

≤-1，即0＜a≤

1

2

，此时f（x）_min=f（-1）=a-1
②当-1＜-

1

2a

＜0，即a＞

1

2

，此时f(x)min=f(-

1

2a

)=-

1

4a

综上：g(a)=

a-1，0＜a≤ 1 2 - 1 4a ，a＞ 1 2

，
由分段函数的图象可知，
g（a）的值域为（-1，0）．

点评：本题考查新定义理解和运用，考查二次函数在闭区间上的最值，注意对称轴和区间的关系，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．