Question

已知数列{a_n}满足：a₁=

1

2

，a_n+1=sin（

π

2

a_n），n∈N^*
（Ⅰ）求证：0＜a_n＜a_n+1＜1；
（Ⅱ）求证：sin[

π

4

（1-a_n）]＜

1

2

；
（Ⅲ）求证：a_n≥1-

1

2

（

π

4

）^n-1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列与三角函数的综合

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）首先利用数学归纳法证0＜a_n＜1，然后利用数学归纳法证明a_n＜a_n+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

2

≤an＜1，然后求出

π

4

(1-an)的范围，再利用正弦函数的单调性证明sin[

π

4

（1-a_n）]＜

1

2

；
（Ⅲ）由1-an=1-sin(

π

2

an-1)=1-cos(

π

2

-

π

2

an-1)=2sin2[

π

4

(1-an-1)]，结合（Ⅱ）可得2sin[

π

4

(1-an-1)]＜1，再由x∈（0，

π

2

）时，sinx＜x可得要证的结论．

解答： 证明：（Ⅰ）先证0＜a_n＜1．
当n=1时，a1=

1

2

，满足0＜a₁＜1；
假设当n=k时，0＜a_k＜1，
当n=k+1时，∵0＜

π

2

ak＜

π

2

，∴0＜sin(

π

2

ak)＜1．
即0＜a_k+1＜1．
再证：a_n＜a_n+1．
当n=1时，a1=

1

2

，a2=sin(

π

2

a1)=sin

π

4

=

2

2

，∴a₁＜a₂；
假设n=k时，0＜a_k＜a_k+1＜1．
当n=k+1时，0＜

π

2

ak＜

π

2

ak+1＜

π

2

，
∵f（x）=sinx在（0，

π

2

）上单调递增，
∴sin(

π

2

ak)＜sin(

π

2

ak+1)，即a_k+1＜a_k+2．
∴n=k+1时，a_k＜a_k+1．
综上，0＜a_k＜a_k+1＜1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：

1

2

≤an＜1．
∴0＜1-an≤

1

2

．
∴0＜

π

4

(1-an)≤

π

8

．
∴sin[

π

4

(1-an)]≤sin

π

8

＜sin

π

6

=

1

2

．
即sin[

π

4

(1-an)]＜

1

2

．
（Ⅲ）1-an=1-sin(

π

2

an-1)=1-cos(

π

2

-

π

2

an-1)=2sin2[

π

4

(1-an-1)]．
由（Ⅱ）知：2sin[

π

4

(1-an-1)]＜1．
∴2sin2[

π

4

(1-an-1)]＜sin[

π

4

(1-an-1)]．
又∵x∈（0，

π

2

）时，sinx＜x，
∴sin[

π

4

(1-an-1)]＜

π

4

(1-an-1)．
即1-an＜

π

4

(1-an-1)＜(

π

4

)2(1-an-2)＜…＜(

π

4

)n-1(1-a1)=

1

2

(

π

4

)n-1．
∴an≥1-

1

2

(

π

4

)n-1．

点评：本题是数列与三角函数的综合题，考查了利用数学归纳法证明数列不等式，考查了数列的函数特性，训练了同角三角函数的基本关系式的应用，属有一定难度题目．