Question

如图已知：菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H，G分别是线段EF，BC的中点．
（1）求证：平面AHC⊥平面BCE；
（2）点M在直线EF上，且EF∥平面AFD，求平面ACH与平面ACM所成角的余弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得△AEF是等边三角形，从而AH⊥EF，进而AH⊥AB，由面面垂直得AH⊥BC，由勾股定理得AC⊥CB，由此能证明平面AHC⊥平面BCE．
（2）分别以AD，AB，AH所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面AHC的法向量和平面ACM的法向量，利用向量法能求出平面ACH与平面ACM所成角的余弦值．

解答： （1）证明：在菱形ABEF中，因为∠ABE=60°，
所以△AEF是等边三角形，
又H是线段EF的中点，所以AH⊥EF，所以AH⊥AB，
因为平面ABEF⊥平面ABCD，所以AH⊥平面ABCD，
所以AH⊥BC，…2分
在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=∠CDA=90°，
得到：AC=BC=2

2

，从而AC²+BC²=AB²，所以AC⊥CB，…4分
所以CB⊥平面AHC，又BC?平面BCE，所以平面AHC⊥平面BCE．…6分
（2）解：由（1）得AH⊥平面ABCD，如图，
分别以AD，AB，AH所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，4，0），C（2，2，0），D（2，0，0），
E（0，2，

3

），F（0，-2，

3

），H（0，0，

3

），G（1，3，0），…7分
设点M的坐标是（0，m，

3

），则

GM

，

AF

，

AD

共面，
所以存在实数λ，μ使得：

GM

=λ

AD

+μ

AF

，
所以（-1，m-3，

3

）=（2λ，0，0）+（0，-2μ，

3

μ），
得到：2λ=-1，m-3=-2μ，

3

=

3

μ，解得m=1．即点M的坐标是：（0，1，

3

），…8分
由（1）知道：平面AHC的法向量是

BC

=(2，-2，0)，
设平面ACM的法向量是

n

=（x，y，z），
则：

n • AC =2x+2y=0 n • AM =y+ 3 z=0

，…9分
令z=

3

，得

n

=（3，-3，

3

），
所以cos＜

n

，

BC

＞=

12

2 2 × 21

=

42

7

，…11分
即平面ACH与平面ACM所成角的余弦值是

42

7

．…12分．

点评：本题考查面面垂直的证明，考查二面有的余弦值的求法，考查向量法在立体几何中的应用，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题．