Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n+n．
（1）证明：数列{a_n-1}为等比数列；
（2）求S_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系变形可得：a_n-1=2（a_n-1-1），即可证明．
（2）利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）当n=1时，S₁=a₁=2a₁+1，a₁=-1．
由S_n=2a_n+n①，得n≥2时，S_n-1=2a_n-1+n-1，②
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1+1，a_n=2a_n-1-1，
两边同时减1得：a_n-1=2a_n-1-2=2（a_n-1-1），
∴{a_n-1}是-2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可得：a_n-1=-2ⁿ，∴a_n=-2ⁿ+1，
∴S_n=-（2+2²+…+2ⁿ）+n=-$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$+n=-2ⁿ⁺¹+2+n．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．