Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（0，1），其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足

PM

=λ1

MQ

，

PN

=λ2

NQ

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若λ₁+λ₂=-3，试证明：直线l过定点并求此定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出b=1，（2a）²+（2b）²=2（2c）²，由此能求出椭圆的方程．
（2）由题意设P（0，m），Q（x₀，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设l方程为x=t（y-m），由已知条件推导出λ1=

m

y1

-1，λ2=

m

y2

-1，由此能证明直线l过定点并能求出此定点．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点（0，1），
∴b=1，设焦距为2c，（1分）
∵长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列，
∴（2a）²+（2b）²=2（2c）²，又a²=b²+c²
解得a²=3．（3分）
∴椭圆的方程为

x2

3

+y2=1．（5分）
（2）由题意设P（0，m），Q（x₀，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
设l方程为x=t（y-m），
由

PM

=λ1

MQ

，知（x₁，y₁-m）=λ₁（x₀-x₁，-y₁）
∴y₁-m=-y₁λ₁，由题意λ₁≠0，∴λ1=

m

y1

-1，（7分）
同理由

PN

=λ2

NQ

知，λ2=

m

y2

-1，
∵λ₁+λ₂=-3，∴y₁y₂+m（y₁+y₂）=0（*），（8分）
联立

x2+3y2=3 x=t(y-m)

，得（t²+3）y²-2mt²y+t²m²-3=0，
∴需△=4m²t⁴-4（t²+3）（t²m²-3）＞0（**）
且有y1+y2=

2mt2

t2+3

，y1y2=

t2m2-3

t2+3

（***），（10分）
（***）代入（*）得t²m²-3+m•2mt²=0，∴（mt）²=1，
由题意mt＜0，∴mt=-1（满足（**）），（12分）
得l方程为x=ty+1，过定点（1，0），即（1，0）为定点．（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意向量知识和等价转化思想的合理运用．