Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，上顶点A，△AF₁F₂为正三角形，以线段F₁F₂为直径的圆与直线y═

3

x-4相切．

（1）求椭圆C的方程和离心率．

（2）若点P为焦点F₁关于直线x=-

5

2

的对称点，动点M满足

|MF1|

|MF2|

=e，问是否存在一定点T，使得动点M到定点T的距离为定值？若存在，求出定点T的坐标及此定值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知条件推导出c=d=

|-4|

3+1

=2，a=2c=4，由此能求出椭圆C的方程和离心率．
（2）由已知条件推导出P（-3，0），设M（x，y），由推导出

(x+2)2+y2

(x+3)2+y2

=

1

2

，由此能求出定点T的坐标和定值．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，上顶点A，
以线段F₁F₂为直径的圆与直线y=

3

x-4相切，
∴c=d=

|-4|

3+1

=2
∵△AF₁F₂为正三角形，
∴a=2c=4，∴b²=4²-2²=12，
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1，
离心率e=

c

a

=

1

2

．
（2）∵点P为焦点F₁（-2，0）关于直线x=-

5

2

的对称点，
∴P（-3，0），
设M（x，y），∵动点M满足

|MF1|

|MF2|

=e=

1

2

，
∴

(x+2)2+y2

(x+3)2+y2

=

1

2

，整理，得（x+

5

3

）²+y²=

4

9

，
∴定点T的坐标为（-

5

3

，0），
使得动点M到定点T的距离为定值

2

3

．

点评：本题考查椭圆方程和离心率的求法，考查满足条件的点的判断，解题时要注意数形结合思想的合理运用．