Question

已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，求此时三棱锥外接球的体积

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积,球内接多面体

专题：球

分析：画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的体积即可．

解答： 解：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折叠成三棱锥，如图：AB=2，AD=1，CD=1，
∴AC=

2

，BC=

2

，
∴BC⊥AC，
取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，∵当三棱锥体积最大时，
∴平面DCA⊥平面ACB，
∴OB=OA=OC=OD，
∴OB=1，就是外接球的半径为1，
此时三棱锥外接球的体积：

4π

3

R3=

4

3

π．
故答案为：

4

3

π．

点评：本题考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．