Question

4．已知函数f（x）=log₂$\frac{{\sqrt{2}x}}{a-x}$，过定点A（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）的直线与函数f（x）的图象交于两点B、C，且$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow 0$
（1）求a的值；
（2）若S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），n∈N^*，且n≥2，求S_n．
（3）已知数列{a_n}满足：a₁=$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{a_n}$=（S_n+1）（S_n+1+1），其中n∈N^*．T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜λ（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\vec 0$，可得A是BC的中点．设A（x，y），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用向量坐标运算、对数函数的运算性质可得：x₁+x₂=1．可得log₂=$\frac{x_1}{{a-{x_1}}}•\frac{x_2}{{a-{x_2}}}$=0，$\frac{{x}_{1}}{a-{x}_{1}}$•$\frac{{x}_{2}}{a-{x}_{2}}$=1，化简即可解出．
（2）由（1）可知：x₁+x₂=1，可得f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，由S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），利用“倒序相加”即可得出．
（3）由a₁=$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{a_n}$=（S_n+1）（S_n+1+1），可得a_n=$\frac{1}{（{S}_{n}+1）（{S}_{n+1}+1）}$=4$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂项求和”即可得出T_n．T_n＜λ（S_n+1+1）化为：$\frac{2n}{n+2}$＜λ$（\frac{n}{2}+1）$，
∴λ＞$\frac{4}{n+\frac{4}{n}+4}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\vec 0$，
∴A是BC的中点．
设A（x，y），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由$\frac{{\sqrt{2}{x_1}}}{{a-{x_1}}}+{log_2}\frac{{\sqrt{2}{x_2}}}{{a-{x_2}}}$（x₁+x₂）=$\frac{{\sqrt{2}{x_1}}}{{a-{x_1}}}+{log_2}\frac{{\sqrt{2}{x_2}}}{{a-{x_2}}}$，得x₁+x₂=1，则x₁=1-x₂或x₂=1-x₁．                
而$\frac{{\sqrt{2}{x_1}}}{{a-{x_1}}}+{log_2}\frac{{\sqrt{2}{x_2}}}{{a-{x_2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}{x_1}}}{{a-{x_1}}}+{log_2}\frac{{\sqrt{2}{x_2}}}{{a-{x_2}}}$（y₁+y₂）=$\frac{{\sqrt{2}{x_1}}}{{a-{x_1}}}+{log_2}\frac{{\sqrt{2}{x_2}}}{{a-{x_2}}}$[f （x₁）+f（x₂）]=$\frac{{\sqrt{2}{x_1}}}{{a-{x_1}}}+{log_2}\frac{{\sqrt{2}{x_2}}}{{a-{x_2}}}$（ log₂$\frac{{\sqrt{2}{x_1}}}{{a-{x_1}}}+{log_2}\frac{{\sqrt{2}{x_2}}}{{a-{x_2}}}$）
=$\frac{x_1}{{a-{x_1}}}+{log_2}\frac{x_2}{{a-{x_2}}}$（1+log₂$\frac{x_1}{{a-{x_1}}}+{log_2}\frac{x_2}{{a-{x_2}}}$），
∴log₂=$\frac{x_1}{{a-{x_1}}}•\frac{x_2}{{a-{x_2}}}$=0，
∴$\frac{{x}_{1}}{a-{x}_{1}}$•$\frac{{x}_{2}}{a-{x}_{2}}$=1，化为a²-a（x₁+x₂）=0，
解得a=1，或0（舍去）．
（2）由（1）可知：x₁+x₂=1，
∴f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，
∴S_n=f（$\frac{1}{n}$）+f（$\frac{2}{n}$）+…+f（$\frac{n-1}{n}$），S_n=f（$\frac{n-1}{n}$）+…+f（$\frac{2}{n}$）+$f（\frac{1}{n}）$，
∴2S_n=n-1，可得S_n=$\frac{n-1}{2}$，n∈N^*，且n≥2．
（3）a₁=$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{a_n}$=（S_n+1）（S_n+1+1），
∴a_n=$\frac{1}{（{S}_{n}+1）（{S}_{n+1}+1）}$=$\frac{4}{（n+1）（n+2）}$=4$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$．
∴T_n=4$[（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）]$=$4（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{2n}{n+2}$．
T_n＜λ（S_n+1+1）化为：$\frac{2n}{n+2}$＜λ$（\frac{n}{2}+1）$，
∴λ＞$\frac{4n}{（n+2）^{2}}$=$\frac{4}{n+\frac{4}{n}+4}$，
∵$\frac{4}{n+\frac{4}{n}+4}$≤$\frac{4}{4+4}$=$\frac{1}{2}$，
T_n＜λ（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，
因此λ＞$\frac{1}{2}$，即λ的取值范围是（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了向量的坐标运算性质、“裂项求和”方法、对数的运算性质、递推关系、“倒序相加”、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．