Question

14．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα+m}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）恒经过椭圆C：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosϕ\\ y=sinϕ\end{array}$（φ为参数）的右焦点F．
（1）求m的值；
（2）当α=$\frac{π}{4}$时直线l与椭圆C相交于A，B两点，求FA•FB的值．

Answer 1

分析 （1）椭圆C：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosϕ\\ y=sinϕ\end{array}$（φ为参数），利用平方关系消去参数化为普通方程，可得右焦点F（1，0）．根据直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα+m}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）恒经过点（c，0），可得m．
（2）当α=$\frac{π}{4}$时，直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t+1}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入椭圆方程可得：3t²+2$\sqrt{2}$t-2=0，利用|FA|•|FB|=|t₁t₂|，即可得出．

解答 解：（1）椭圆C：$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosϕ\\ y=sinϕ\end{array}$（φ为参数），消去参数化为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，可得右焦点F（1，0）．
直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα+m}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）恒经过点（1，0），取t=0，则m=1．
（2）当α=$\frac{π}{4}$时，直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t+1}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入椭圆方程可得：3t²+2$\sqrt{2}$t-2=0，
∴t₁t₂=-$\frac{2}{3}$．
∴|FA|•|FB|=|t₁t₂|=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用、直线经过定点问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．