Question

15．（Ⅰ）已知命题p：函数f（x）=（2a-5）^x是R上的减函数；
命题q：在x∈（1，2）时，不等式x²-ax+2＜0恒成立，若p∨q是真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设条件p：2x²-3x+1≤0，条件q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出命题p、q是真命题时x的取值范围，再根据p∨q是真命题时p真或q真，从而求出a的取值范围；
（Ⅱ）求出命题p、q是真命题时x的取值范围，再求出￢p、￢q对应的集合，利用￢p是￢q的必要不充分条件，求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）在p中，∵函数f（x）=（2a-5）^x是R上的减函数，
∴0＜2a-5＜1，解得$\frac{5}{2}$＜a＜3；
在q中，由x²-ax+2＜0得ax＞x²+2，
∵1＜x＜2，
∴a＞$\frac{{x}^{2}+2}{x}$=x+$\frac{2}{x}$在x∈（1，2）时恒成立；
又当x∈（1，2）时，x+$\frac{2}{x}$∈[2$\sqrt{2}$，3），
∴a≥3；
∵p∨q是真命题，故p真或q真，
∴有$\frac{5}{2}$＜a＜3或a≥3；
∴a的取值范围是a＞$\frac{5}{2}$；
（Ⅱ）命题p为：{x/$\frac{1}{2}≤x≤1$}，
命题q为：{ x/a≤x≤a+1}，
￢p对应的集合A={x/x＞1，或x＜$\frac{1}{2}$}，
￢q对应的集合为B={x/x＞a+1，或x＜a}，
∵若￢p是￢q的必要不充分条件，
∴B?A，
∴a+1≥1且$a≤\frac{1}{2}$，
∴0≤a≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了复合命题真假的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．