Question

设集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=3-

4x-x2

}，当M∩N≠∅时，则实数b的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：交集及其运算

专题：集合

分析：由已知得直线y=x+b与圆（x-2）²+（y-3）²=4有交点，由此能求出实数b的取值范围．

解答： 解：∵集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=3-

4x-x2

}，
M∩N≠∅，
∴直线y=x+b与半圆（x-2）²+（y-3）²=4（1≤x≤3）有交点，
半圆（x-2）²+（y-3）²=4（1≤x≤3）表示：
圆心在（2，3），半径为 2 的圆的下半部分，
y=x+b表示斜率为1的平行线，
其中b是直线在y轴上的截距，
当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，
即圆心（2，3）到直线y=x+b的距离d=

|2-3+b|

2

=2，
解得b=1-2

2

或b=1+2

2

（舍），
由图知b的取值范围是[1-2

2

，3]．
∴实数b的取值范围是[1-2

2

，3]．
故答案为：[1-2

2

，3]．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．