Question

11．如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长都相等，M是侧棱CC₁的中点，求异面直线AB₁和BM所成的角的大小．（以B为坐标原点，BC为x轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解）

Answer 1

分析 以B为坐标原点，以BC和BB₁所在直线为x轴和z轴，过B作平面BCC₁的直线为y轴，建立空间直角坐标系Bxyz，利用向量法能求出异面直线AB₁和BM所成的角．

解答 解：以B为坐标原点，
以BC和BB₁所在直线为x轴和z轴，过B作平面BCC₁的直线为y轴，
建立空间直角坐标系Bxyz，
则B（0，0，0），M（2，0，1），B₁（0，0，2），A（1，$\sqrt{3}$，0），…（4分）
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-1，-$\sqrt{3}$，2），$\overrightarrow{BM}$=（2，0，1），…（8分）
cos＜$\overrightarrow{A{B}_{1}}，\overrightarrow{BM}$＞=$\frac{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{BM}}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{BM}|}$=$\frac{0}{2\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=0，
∴异面直线AB₁和BM所成的角为90°．…（10分）

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．