Question

4．设函数f（x）=x³-$\frac{9}{2}$x²+6x-3．
（1）求f（x）的单调区间和极值点；
（2）求f（x）在[0，3]的最大值与最小值；
（3）画y=f（x）的草图．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用函数单调性和极值的定义即可求f（x）的单调区间和极值点；
（2）求出端点值f（0）和f（3），结合函数的极值进行比较即可求f（x）在[0，3]的最大值与最小值；
（3）根据函数单调性，和极值即可画y=f（x）的草图．

解答 解：（1）函数导数f′（x）=3x²-9x+6=3（x²-3x+2），
由f′（x）＞0得x＞2或x＜1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，得1＜x＜2，此时函数单调递减，
即函数的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞），单调递减区间为（1，2），
当x=1时，函数取得极大值，此时f（1）=$-\frac{1}{2}$，
当x=2时，函数取得极小值，此时f（2）=-1．
（2）∵f（0）=-3，f（3）=$\frac{1}{2}$，f（1）=$-\frac{1}{2}$，f（2）=-1
∴f（x）在[0，3]的最大值是f（3）=$\frac{1}{2}$，最小值是f（0）=-3；
（3）根据函数的单调性和极值，
则作出对应的函数y=f（x）的草图如图．

点评 本题主要考查导数的综合应用，根据函数单调性，极值，最值和导数之间的关系是解决本题的关键．考查学生的计算能力．