Question

15．已知函数f（x）=x²+ax+3．
（1）当a=-4 时，解不等式f（x）＜0；
（2）若不等式f（x）＞0的解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-4时，不等式f（x）＜0，即为x²-4x+3＜0，可得：（x-1）（x-3）＜0，解出即可得出．
（2）由不等式f（x）=x²+ax+3＞0的解集为R，可得：函数f（x）的图象恒在x轴上方，与x轴无交点．从而一元二次方程f（x）=0无实数根，因此△＜0，解出即可得出．

解答 解：（1）当a=-4时，不等式f（x）＜0，即为x²-4x+3＜0，可得：（x-1）（x-3）＜0，解得1＜x＜3．
即不等式f（x）＜0的解集为（1，3）．
（2）由不等式f（x）=x²+ax+3＞0的解集为R，可得：
函数f（x）的图象恒在x轴上方，与x轴无交点；
从而一元二次方程f（x）=0无实数根，∴△=a²-4×3＜0，
解得：$-2\sqrt{3}$＜a＜2$\sqrt{3}$．
故所求实数a的取值范围为（$-2\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了“三个二次”之间的关系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．