Question

12．如图，已知梯形ABCD内接于圆O，AB∥CD，过点D作圆的切线交CA的延长线于点F，且DF∥BC，如果CA=5，BC=4．
（Ⅰ） 求证：△AFD～△BCA；
（Ⅱ） 求CD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 证明两组对应角相等，即可证明：△AFD～△BCA；
（Ⅱ） 证明∠BCD=∠ADC，即可求CD的长．

解答 （Ⅰ）证明：∵过点D作圆的切线交CA的延长线于点F，
∴∠ADF=∠ACD，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC
∴∠ADF=∠BAC，
∵DF∥BC，
∴∠AFD=∠BCA，
∴：△AFD～△BCA；
（Ⅱ）解：∠CAD=∠AFD+∠ADB=∠BCA+∠ACD=∠BCD，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠ADC，
∴CD=CA=5．

点评 本题考查三角形相似的判定，考查圆的切线的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．