Question

7．已知函数f（x）=lnx-ax+1在$[{\frac{1}{e}，e}]$内有零点，则a的取值范围为0≤a≤1．

Answer 1

分析 分离参数，构造函数，根据导数求出函数的最值，即可求出a的范围．

解答 解：f（x）=lnx-ax+1在$[{\frac{1}{e}，e}]$内有零点，
∴f（x）=lnx-ax+1=0，在$[{\frac{1}{e}，e}]$内有恒成立
∴ax=lnx+1，
∴a=$\frac{lnx+1}{x}$，
设g（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，
则g′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
函数g（x）在[$\frac{1}{e}$，1]上递增，在[1，e]上递减，
∴g（x）_max=g（1）=1，
g（$\frac{1}{e}$）=0，g（e）=$\frac{2}{e}$，
g（x）_min=g（$\frac{1}{e}$）=0，
∴0≤a≤1
故答案为：0≤a≤1．

点评 本题考查了参数的取值范围的求法，关键是分离参数，构造函数，属于基础题．