Question

19．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=$\frac{π}{6}$，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，动点D在斜边AB上．
（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）求CD与平面AOB所成角的正弦的最大值．

Answer 1

分析 （I）根据题意，得出二面角B-AO-C是直二面角，再证出CO⊥平面AOB，即可得到平面COD⊥平面AOB；
（II）根据CO⊥平面AOB得∠CDO是CD与平面AOB所成的角，当CD最小时，∠CDO的正弦值最大，求出最大值即可．

解答 解：（I）证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角；
又∵二面角B-AO-C是直二面角，
∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，
又CO?平面COD，∴平面COD⊥平面AOB；
（II）由（I）知，CO⊥平面AOB，
∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角；
在Rt△CDO中，CO=BO=ABsin$\frac{π}{6}$=4×$\frac{1}{2}$=2，
∴sin∠CDO=$\frac{CO}{CD}$=$\frac{2}{CD}$；
当CD最小时，sin∠CDO最大，
此时OD⊥AB，垂足为D，
由三角形的面积相等，得
$\frac{1}{2}$CD•AB=$\frac{1}{2}$BC•$\sqrt{{AB}^{2}{-（\frac{BC}{2}）}^{2}}$，
解得CD=$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{{4}^{2}{-（\sqrt{2}）}^{2}}}{4}$=$\sqrt{7}$，
∴CD与平面AOB所成角的正弦的最大值为$\frac{2}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了平面与平面垂直的判定以及直线与平面所成的角的计算问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．