Question

已知圆C与x轴相切，圆心C在射线3x-y=0（x＞0）上，直线x-y=0被圆C截得的弦长为2

7

（1）求圆C标准方程；
（2）若点Q在直线l₁：x+y+1=0上，经过点Q直线l₂与圆C相切于p点，求|QP|的最小值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设圆心坐标为 （a，3a），且a＞0，求出圆心（a，3a）到直线x-y=0的距离，利用勾股定理，求出圆心与半径，即可求圆C标准方程；
（2）在Rt△QPC中，|QP|=

(|QC|)2-9

，所以，当|QC|最小时，|QP|有最小值．

解答： 解：（1）因为圆心C在射线3x-y=0（x＞0）上，
设圆心坐标为 （a，3a），且a＞0，
圆心（a，3a）到直线x-y=0的距离为d=

|-2a|

2

=

2

a
又圆C与x轴相切，所以半径r=3a
设弦AB的中点为M，则|AM|=

7

在RtAMC中，得(

2

a)2+(

7

)2=(3a)2
解得a=1，r²=9
故所求的圆的方程是（x-1）²+（y-3）²=9   …（6分）
（2）如图，在Rt△QPC中，|QP|=

(|QC|)2-9

，
所以，当|QC|最小时，|QP|有最小值；
所以QC⊥l₁于Q点时，|QC|_min=

|1+3+1|

2

=

5 2

2

所以，|QP|_min=

14

2

  …..（12分）

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．