Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x²，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k的取值范围为（　　）

• A、（2

  2

  -2，2

  6

  -4）
• B、（

  3

  +2，

  3

  +

  6

  ）
• C、（2

  2

  +2，2

  6

  +4）
• D、（4，8）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：本题通过奇函数特征得到函数图象经过原点，且关于原点对称，利用f（x+1）=f（x）+f（1）得到函数类似周期性特征，从而可以画出函数的草图，再利用两个临界状态的研究，得到k的取值范围．

解答： 解：∵当0≤x≤1时，f（x）=x²，
∴f（1）=1．
∵当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），
∴f（x+1）=f（x）+1，
∴当x∈[n，n+1]，n∈N^*时，
f（x+1）=f（x-1）+1=f（x-2）+2=…=f（x-n）+n=（x-n）²+n，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数图象经过原点，且关于原点对称．
∵直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有7个不同的公共点，
∴当x＞0时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有3个不同的公共点，
∴由x＞0时f（x）的图象可知：
直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈[1，2]时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有5个不同的公共点，
直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈[2，3]时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有9个不同的公共点，
∴直线y=kx与函数y=f（x）的图象位置情况介于上述两种情况之间．
∵当x∈[1，2]时，
由

y=kx y=(x-1)2+1

得：
x²-（k+2）x+2=0，
令△=0，得：k=2

2

-2．
由

y=kx y=(x-2)2+2

得：
x²-（k+4）x+6=0，
令△=0，得：k=2

6

-4．
∴k的取值范围为（2

2

-2，2

6

-4）．

点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、函数图象与性质及其应用，本题有一定的综合性，属于中档题．