Question

在平行四边形ABCD中，AC=

3

BD，则∠DAB的最大值为

 

．

Answer 1

考点：三角形中的几何计算

专题：计算题,解三角形

分析：由题意不妨设设AC、BD相交于点O，并设AO=CO=

3

，BO=DO=1，设AB=c，BC=b，从而利用余弦定理可得b²+c²=8，再利用余弦定理及基本不等式求最大值．

解答： 解：设AC、BD相交于点O，并设AO=CO=

3

，BO=DO=1，
设AB=c，BC=b，
则由余弦定理知：
cos∠AOB=

1+3-b2

2×1× 3

=

4-b2

2 3

，
cos∠BOC=

1+3-c2

2 3

，
而∠AOC+∠AOB=180°，
即有cos∠AOC=-cos∠AOB，
所以

4-b2

2 3

=-

1+3-c2

2 3

，
即有b²+c²=8；
从而在△ABD中再应用余弦定理知：
cos∠DAB=

b2+c2-4

2bc

=

2

bc

；
而由8=b²+c²≥2bc知，
bc≤4；
所以cos∠ABC≥

1

2

；
由于∠DAB为锐角，
所以∠DAB≤60°
即知所以锐角DAB最大值为60°
故答案为60°．

点评：本题考查了解三角形的应用及基本不等式的应用，属于基础题．