Question

如图，在矩形ODEF中，O为坐标原点，|OD|=2，|DE|=

3

，且满足

OP

=λ

OD

，

EQ

=λ

ED

，直线CP与直线FQ相较于点M
（1）求点M的轨迹方程；
（2）当λ=

1

2

时，过点P与坐标轴不垂直的直线，交动点M的轨迹于1A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于R点，试判断

|PR|

|AB|

是否为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由|OD|=2，|DE|=

3

，且满足

OP

=λ

OD

，

EQ

=λ

ED

，可得P（2λ，0），Q(2，

3

-

3

λ)．于是直线CP的方程为：y=

3

2λ

x-

3

．直线FQ的方程为：y=-

3 λ

2

x+

3

．联立解得x，y并消去参数λ即可得出．
（2）当λ=

1

2

时，P（1，0）．过点P与坐标轴不垂直的直线设为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．线段AB的中点为M（x₀，y₀）．直线方程与椭圆方程联立可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，可得根与系数的关系，利用中点坐标公式可得M．即可得出线段AB的垂直平分线，可得R，可得|PR|．利用弦长公式可得|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

．即可得出

|PR|

|AB|

为定值．

解答： 解：（1）∵|OD|=2，|DE|=

3

，且满足

OP

=λ

OD

，

EQ

=λ

ED

，
∴P（2λ，0），Q(2，

3

-

3

λ)．
∴直线CP的方程为：y=

3

2λ

x-

3

．
直线FQ的方程为：y=-

3 λ

2

x+

3

．
联立解得

x= 4λ 1+λ2 y= 3 - 3 λ2 1+λ2

，消去λ化为：

x2

4

+

y2

3

=1．
∴点M的轨迹方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）当λ=

1

2

时，P（1，0）．
过点P与坐标轴不垂直的直线设为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．线段AB的中点为M（x₀，y₀）．
联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，化为（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．
∴x₀=

4k2

3+4k2

，y₀=k（x₀-1）=

-3k

3+4k2

．
∴M(

4k2

3+4k2

，

-3k

3+4k2

)．
∴线段AB的垂直平分线为：y+

3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)，
令y=0，解得x=

k2

3+4k2

．
∴R(

k2

3+4k2

，0)，
|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k4 (3+4k2)2 - 4(4k2-12) 3+4k2 ]

=

12(1+k2)

3+4k2

．
|PR|=

3+3k2

3+4k2

．
∴

|PR|

|AB|

=

1

4

为定值．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段的垂直平分线方程、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．