Question

已知A（2，1），B（2，-1），O为坐标原点，动点P（x，y）满足

OP

=m

OA

+n

OB

，其中m、n∈R，且m²+n²=

1

2

，则动点P的轨迹方程是

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设动点P（x，y），根据向量间的关系得到x=2m+2n，y=m-n，代入m²+n²=

1

2

化简可得动点P的轨迹方程．

解答： 解：设动点P（x，y ），则
∵点P满足

OP

=m

OA

+n

OB

，其中m、n∈R，
∴（x，y ）=（2m+2n，m-n），
∴x=2m+2n，y=m-n，
∴m=

x+2y

4

，n=

x-2y

4

，
∵m²+n²=

1

2

，
∴2（

x+2y

4

）²-（

x-2y

4

）²=

1

2

，即

x2

4

+y2=1．
故答案为：

x2

4

+y2=1．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查两个向量坐标形式的运算，训练了利用代入法求曲线的方程，是中档题，建立动点P（x，y ）与m、n的关系是解题的关键．．