Question

18．记$\underset{\stackrel{n}{U}}{k-1}$A_k=A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_n，n∈N，设集合A_k={y|y=$\frac{kx+1}{\sqrt{kx}}$•$\frac{1}{k}$≤x≤1，k-2，3，…，2015}，则$\underset{\stackrel{2015}{U}}{k-2}$A_k=（　　）

• A． ∅
• B． {2，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$}
• C． {2}
• D． [2，$\frac{2016\sqrt{2015}}{2015}$]

Answer 1

分析 根据基本不等式和函数的单调性求出集合A_k，再由题意表示出$\underset{\stackrel{2015}{U}}{k=2}$A_k，利用并集的运算求出即可．

解答 解：因为，$\frac{1}{k}$≤x≤1，k=2，3，…，2015，
所以$\frac{kx+1}{\sqrt{kx}}$=$\sqrt{kx}$+$\frac{1}{\sqrt{kx}}$≥2，
当且仅当$\sqrt{kx}$=$\frac{1}{\sqrt{kx}}$时，即x=$\frac{1}{k}$时取等号，
所以函数y=以$\frac{kx+1}{\sqrt{kx}}$在[$\frac{1}{k}$，1]上的最小值是2，
由对号函数的单调性知，函数y=以$\frac{kx+1}{\sqrt{kx}}$在[$\frac{1}{k}$，1]上单调递增，
所以当x=1时取到最大值$\frac{k+1}{\sqrt{k}}$=$\frac{（k+1）\sqrt{k}}{k}$，即集合A_k=[2，$\frac{（k+1）\sqrt{k}}{k}$]（k≥2），
因为$\underset{\stackrel{n}{U}}{k=1}$A_k=A₁∪A₂∪A₃∪…A_n，n∈N^*，且A_k={2}，
所以$\underset{\stackrel{2015}{U}}{k=2}$A_k=A₁∪A₂∪A₃∪…A₂₀₁₅={2}∪[2，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]∪…∪[2，$\frac{2016\sqrt{2015}}{2015}$]
=[2，$\frac{2016\sqrt{2015}}{2015}$]，
故选：D．

点评 本题是探究型的题目，考查基本不等式和函数的单调性在求函数的最值中的应用，以及并集的运算．