Question

10．已知在△ABC中，重心为P，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-16，BC=10，则|$\overrightarrow{AP}$|等于（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 由（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）²=|$\overrightarrow{BC}$|²=100和$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-16可得${\overrightarrow{AC}}^{2}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$=68，于是（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）²=${\overrightarrow{AC}}^{2}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=36，作出平行四边形ABDC，则AD=6，根据重心的性质可得AP=2．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，∴（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）²=|$\overrightarrow{BC}$|²=100，即${\overrightarrow{AC}}^{2}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=100，∴${\overrightarrow{AC}}^{2}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$=100+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=68．
∴（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）²=${\overrightarrow{AC}}^{2}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=68-32=36，∴|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|=6，
以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，则AD=|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|=6．
∵P是△ABC的重心，∴AP=$\frac{1}{3}$AD=2．
故选D．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，向量加减法的几何意义，重心的性质，属于中档题．