Question

6．如图，M、N分别是四面体OABC的棱OA、BC的中点，P、Q是MN的三等分点．
（1）用向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示$\overrightarrow{OP}$和$\overrightarrow{OQ}$．
（2）若四面体OABC的所有棱长都等于1，求$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$的值．

Answer 1

分析 （1）用向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示出$\overrightarrow{MN}$，则$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}$；
（2）四面体OABC的所有棱长都等于1时，|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{2}$．将（1）中的结论进行数量积运算即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BN}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$+（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$）=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$．
$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MQ}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{OC}$．
（2）$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=（$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$）•（$\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{OC}$）
=$\frac{1}{18}$$\overrightarrow{OA}$²+$\frac{1}{36}$$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{36}$$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$+$\frac{1}{9}$$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{18}$$\overrightarrow{OB}$²+$\frac{1}{18}$$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$+$\frac{1}{9}$$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{18}$$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{18}$$\overrightarrow{OC}$²
=$\frac{1}{18}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{18}$+$\frac{1}{18}$+$\frac{1}{36}$+$\frac{1}{18}$+$\frac{1}{36}$+$\frac{1}{18}$=$\frac{13}{36}$

点评 本题考查了向量的加减法的几何意义及数量积运算，向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示出$\overrightarrow{MN}$是解题关键，属于中档题．