Question

如图，过函数f（x）=log_cx（c＞1）的图象上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），线段BN与函数g（x）=log_mx，（m＞c＞1）的图象交于点C，且AC与x轴平行．
（1）当a=2，b=4，c=3时，求实数m的值；
（2）当b=a²时，求

m

b

-

2c

a

的最小值；
（3）已知h（x）=a^x，φ（x）=b^x，若x₁，x₂为区间（a，b）内任意两个变量，且x₁＜x₂，求证：h[f（x₂）]＜φ[f（x₁）]．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过a=2，b=4，c=3时，求出ABC坐标，利用AC与x轴平行，列出方程，即可求实数m的值；
（2）通过ABC坐标，利用平行关系得到方程，通过当b=a²时，化简

m

b

-

2c

a

为二次函数的形式，即可求解表达式的最小值；
（3）通过h（x）=a^x，φ（x）=b^x，若x₁，x₂为区间（a，b）内任意两个变量，且x₁＜x₂，利用对数函数的单调性，以及对数的运算法则，即可证明：h[f（x₂）]＜φ[f（x₁）]．

解答： （1）解：由题意得A（2，log₃2），B（4，log₃4），C（4，log_m4）
因为AC与x轴平行
所以log_m4=log₃2
所以m=9
（2）解：由题意得A（a，log_ca），B（b，log_cb），C（b，log_mb）
因为AC与x轴平行
所以log_mb=log_ca
因为b=a²，所以m=c²
所以

m

b

-

2c

a

=

c2

a2

-

2c

a

=(

c

a

-1)2-1
所以

c

a

=1时，达到最小值-1
（3）证明：因为a＜x₁＜x₂＜b，且c＞1
所以log_ca＜log_cx₁＜log_cx₂＜log_cb
又因为a＞1，b＞1
所以alogcx2＜alogcb，blogca＜blogcx1
又因为log_cblog_ca=log_calog_cb
所以logcalogcb=logcblogca
所以alogcb=blogca
所以alogcx2＜blogcx1
即h[f（x₂）]＜φ[f（x₁）]．

点评：本题考查复合函数的单调性，对数的运算性质，考查函数与方程的综合应用，是中档题．