Question

若定义在R上的函数y=f（x）满足f（

5

2

+x）=f（

5

2

-x）且（x-

5

2

）f′（x）＜0，则对于任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）是x₁+x₂＞5的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充分必要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：由已知中f（

5

2

+x）=f（

5

2

-x）可得函数y=f（x）的图象关于直线x=

5

2

对称，由（x-

5

2

）f′（x）＜0可得函数y=f（x）在（

5

2

，+∞）上是增函数，在（-∞，

5

2

）上是减函数，结合函数的图象和性质和充要条件的定义，可判断f（x₁）＞f（x₂）和x₁+x₂＞5的充要关系，得到答案．

解答： 解：∵f（

5

2

+x）=f（

5

2

-x），
∴f（x）=f（5-x），
即函数y=f（x）的图象关于直线x=

5

2

对称．
又因（x-

5

2

）f′（x）＞0，故函数y=f（x）在（

5

2

，+∞）上是增函数．
再由对称性可得，函数y=f（x）在（-∞，

5

2

）上是减函数．
∵任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂），故x₁和x₂在区间（-∞，

5

2

）上，
∴x₁+x₂＜5．
反之，若 x₁+x₂＜5，则有x₂ -

5

2

＜

5

2

-x₁，故x₁离对称轴较远，x₂ 离对称轴较近，
由函数的图象的对称性和单调性，可得f（x₁）＞f（x₂）．
综上可得，“任意的x₁＜x₂，都有f（x₁）＞f（x₂）”是“x₁+x₂＜5”的充要条件，
故选：C．

点评：判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．