Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-x+

k

2

x²，（k≥0，且k≠1）．
（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）当k=0时，设f（x）在区间[0，n]（n∈N）上的最小值为b_n，令a_n=ln（1+n）-b_n，求证：

a1

a2

+

a1a3

a2a4

+…

a1a3…a2n-1

a2a4…a2n

＜

2an+1

-1，（n∈N^*）．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当k=2时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求曲线y=f（x）
在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用导数小于0，即可求f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）确定a_n=ln（1+n）-b_n=n，再证明

a1a3…a2n-1

a2a4…a2n

=

1•3•5…(2n-1)

2•4•6…2n

＜

1

2n+1

＜

2

2n+1 + 2n-1

=

2n+1

-

2n-1

，叠加，即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：当k=2时，f（x）=ln（1+x）-x+x²，
∴f′（x）=

1

1+x

-1+2x，
∴f′（1）=

1

2

-1+2=

3

2

，f（1）=ln2，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y-ln2=

3

2

（x-1），
即3x-2y+2ln2-3=0；
（Ⅱ）解：f′（x）=

x(kx+k-1)

1+x

（x＞-1）．
①k=0时，f′（x）=-

x

1+x

＜0，则x＞0，∴f（x）的单调减区间为（0，+∞）；
②

1-k

k

＞0即0＜k＜1时，f′（x）＜0，可得0＜x＜

1-k

k

，∴f（x）的单调减区间为（0，

1-k

k

）；
③

1-k

k

＜0即k＞1时，f′（x）＜0，可得

1-k

k

＜x＜0，∴f（x）的单调减区间为（

1-k

k

，0）；
（Ⅲ）证明：当k=0时，f（x）在[0，n]上单调递减，
∴b_n=f（n）=ln（1+n）-n，
∴a_n=ln（1+n）-b_n=n，
∵

a1a3…a2n-1

a2a4…a2n

=

1•3•5…(2n-1)

2•4•6…2n

＜

2•4•6…2n

3•5•7…(2n+1)

，
即有

1•3•5…(2n-1)

2•4•6…2n

＜

1

2n+1

＜

2

2n+1 + 2n-1

=

2n+1

-

2n-1

，
∴

a1

a2

+

a1a3

a2a4

+…

a1a3…a2n-1

a2a4…a2n

＜（

3

-1）+（

5

-

3

）+…+（

2n+1

-

2n-1

）
=

2n+1

-1=

2an+1

-1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确求导数是关键．