Question

已知f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[-1，0]时，函数解析式为f（x）=

1

4x

-

b

2x

（b∈R）．
（1）求b的值，并求出f（x）在[0，1]上的解析式．
（2）求f（x）在[-1，1]上的值域．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，且f（x）在x=0处有意义，f（0）=0，求出b的值，利用奇函数定义求出解析式．
（2）设t=2^x（t＞0），则g（t）=-t²+t，x∈[0，1]，t∈[1，2]转化为二次函数求解，再利用奇性求出整个区间上的最值，即可得到值域．

解答： 解：（1）∵f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，且f（x）在x=0处有意义，
∴f（0）=0，即f（0）=1-b，
∴b=1．
设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]
∴f（-x）=

1

4-x

-

1

2-x

=4x-2x，
f（x）=2^x-4^x，．
所以f（x）=2^x-4^x在[0，1]上的解析式为f（x）=2^x-4^x，
（2）当x∈[0，1]，f（x）=2^x-4^x=2^x-（2^x）²，
∴设t=2^x（t＞0），则g（t）=-t²+t，
∵x∈[0，1]，t∈[1，2]
当t=1时，最大值为1-1=0，
当t=0时，取最小值-2，
∴函数在[0，1]上取最小值-2，最大值为0，
∵f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，
∴函数在[-1，0]上取最小值0，最大值为2，
所以f（x）在[-1，1]上的值域[-2，2]

点评：本题考查了函数的性质，定义，换元法转化函数，求解值域，难度不大．