Question

2．语文成绩服从正态分布N（100，17.5²），数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135的则认为特别优秀．
（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？
（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，
从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有x人，求x的分布列和数学期望．（附公式及表）
若x～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜x≤μ+σ）=0.68，P（μ-2σ＜x≤μ+2σ）=0.96．

Answer 1

分析 （1）先求出语文成绩特别优秀的概率和数学成绩特别优秀的概率，由此能求出语文和数学两科都特别优秀的人的个数．
（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）∵语文成绩服从正态分布N（100，17.5²），
∴语文成绩特别优秀的概率为p₁=P（X≥135）=（1-0.96）×$\frac{1}{2}$=0.02，
数学成绩特别优秀的概率为p₂=0.0016×$20×\frac{3}{4}$=0.024，
∴语文特别优秀的同学有500×0.02=10人，
数学特别优秀的同学有500×0.024=12人．
（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{10}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{3}{14}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{10}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{27}{56}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{10}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{15}{56}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{16}^{3}}$=$\frac{1}{28}$，
∴X的分布列为：

x	0	1	2	3
P	$\frac{3}{14}$	$\frac{27}{56}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{1}{28}$

E（X）=$0×\frac{3}{14}+1×\frac{27}{56}+2×\frac{15}{56}+3×\frac{1}{28}$=$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查正态分布的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．