Question

14．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．平面向量$\overrightarrow{m}$=（cos A，cos C），$\overrightarrow{n}$=（c，a），$\overrightarrow{p}$=（2b，0），且$\overrightarrow{m}$•（$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{p}$）=0．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b=1，a=2，D是边BA上一点且∠B=∠DCA，求CD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用向量的数量积的坐标表示，结合正弦定理和两角和的正弦公式，即可求得A；
（Ⅱ）运用正弦定理求得sinB，由A＞B，可得cosB，运用两角和的正弦公式可得sin∠ADC，再由正弦定理，计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）由$\overrightarrow{m}$=（cos A，cos C），$\overrightarrow{n}$=（c，a），$\overrightarrow{p}$=（2b，0），
可得$\overrightarrow{m}$•（$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{p}$）=（cosA，cosC）•（c-2b，a）=（c-2b）cosA+acosC=0，
由正弦定理，可得（sinC-2sinB）cosA+sinAcosC=0，
即为2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin（C+A）=sinB，
由sinB≠0，可得cosA=$\frac{1}{2}$，
由0＜A＜π，可得A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，a=2，b=1，A=$\frac{π}{3}$，
可得sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
由a＞b，可得A＞B，则cosB=$\sqrt{1-\frac{3}{16}}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
在△ACD中，sin∠ADC=sin（π-∠DCA-$\frac{π}{3}$）
=sin（∠DCA+$\frac{π}{3}$）=sin（B+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB
=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{39}}{8}$，
在△ACD中，由正弦定理，可得：
CD=$\frac{ACsin\frac{π}{3}}{sin∠ADC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{8}{\sqrt{3}+\sqrt{39}}$=$\frac{\sqrt{13}-1}{3}$．

点评 本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，以及三角形的正弦定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．