Question

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA（sinA-$\frac{1}{2}$sinB）=sin²C-sin²B，且c=2，则△ABC面积的最大值为（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{{2\sqrt{15}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知等式，代入余弦定理可求cosC的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，根据基本不等式可求ab的最大值，进而利用三角形面积公式即可得解△ABC面积的最大值．

解答 解：由正弦定理得：$a（a-\frac{1}{2}b）={c^2}-{b^2}$，即${a^2}+{b^2}-{c^2}=\frac{1}{2}ab$，
代入余弦定理得：$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{\frac{1}{2}ab}}{2ab}=\frac{1}{4}$，
所以：$sinC=\sqrt{1-{{（\frac{1}{4}）}^2}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
又：由${a^2}+{b^2}-{c^2}=\frac{1}{2}ab$，c=2，
得：${a^2}+{b^2}=\frac{1}{2}ab+4≥2ab$，
解得：$ab≤\frac{8}{3}$，
所以：△ABC面积为$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}•\frac{{\sqrt{15}}}{4}•ab=\frac{{\sqrt{15}}}{8}•ab≤\frac{{\sqrt{15}}}{8}×\frac{8}{3}=\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，
当且仅当$a=b=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$时等号成立，
故△ABC面积的最大值为$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．