Question

11．底面为正方形的四棱锥P-ABCD，F为PD中点．
（1）求证：PB∥面ACF；
（2）若PD⊥面ABCD，求证：AC⊥面PBD．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理证明PB∥EF即可证明PB∥平面EAC；
（2）由PD⊥面ABCD，可证PD⊥AC，又可证AC⊥BD，利用线面垂直的判定定理即可证明AC⊥面PBD．

解答 （本题满分为12分）
证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴E为BD中点．
∵F为棱PD中点
∴PB∥EF．…（3分）
∵PB?平面ACF，EF?平面ACF，
∴直线PB∥平面ACF．  …（6分）
（2）∵PD⊥面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
又∵正方形ABCD中，有AC⊥BD，且PD∩BD=D，
∴AC⊥面PBD．…（12分）

点评 本题主要考查空间直线和平面平行以及直线和平面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．