题目内容
如图，在四棱锥A-BCDE中，底面四边形BCDE是等腰梯形，BC∥DE，∠DCB=45°，O是BC的中点，AO=| 3 |
| 2 |
（1）证明：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A-CD-B的平面角的正切值．
考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题
专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用
分析：（1）根据线面垂直的判定定理即可证明：AO⊥平面BCD；
（2）先求二面角A-CD-B的平面角，然后利用向量法或者定义直接求二面角的正切值．
（2）先求二面角A-CD-B的平面角，然后利用向量法或者定义直接求二面角的正切值．
解答：
解：（1）易知OC=3，AD=2
，连结OD，OE，在三角形OCD中．
由余弦定理可得OD=
=
，
∵AD=2
，
∴AO2+OD2=AD2，∴AO⊥OD，
同理可证：AO⊥OE，
又OD∩OE=0，0D?平面BCD，OE?面BCD，
∴AO⊥平面BCD．
（2）以O为原点，建立空间直角坐标系o-xyz如图，
则A（0，0，
），C（0，-3，0），D（1，-2，0），
∴
=(0，3，
)，
=(-1，2，
)，
设
=(x，y，z)为平面ACD的一个法向量，
则
，
即
解得
，
令x=1，则
=(1，-1，
)，
由（1）知，
=（0，0，
）是平面CDB的一个法向量，
∴cos?＜
，
＞=
=
=
，
由二面角A-CD-B为锐二面角，
∴二面角A-CD-B的平面角的正切值为
．
| 2 |
由余弦定理可得OD=
| OC2+CD2-2OC?CDcos?45? |
| 5 |
∵AD=2
| 2 |
∴AO2+OD2=AD2，∴AO⊥OD，
同理可证：AO⊥OE，
又OD∩OE=0，0D?平面BCD，OE?面BCD，
∴AO⊥平面BCD．
（2）以O为原点，建立空间直角坐标系o-xyz如图，
则A（0，0，
| 3 |
∴
| CA |
| 3 |
| DA |
| 3 |
设
| m |
则
|
即
|
解得
|
令x=1，则
| m |
| 3 |
由（1）知，
| OA |
| 3 |
∴cos?＜
| m |
| OA |
| ||||
|
|
| 3 | ||||
|
| ||
| 5 |
由二面角A-CD-B为锐二面角，
∴二面角A-CD-B的平面角的正切值为
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判断，以及空间二面角的大小的计算，利用向量法是解决空间二面角大小的基本方法．
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