Question

设数列{a_n}的前n项积为T_n，T_n=2

n(n+1)

2

（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_nlog₂a_n，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得T_n=a₁×a₂×a₃×…×a_n=2

n(n+1)

2

，T_n-1=a₁×a₂×a₃×…×a_n-1=2

n(n-1)

2

，由此能求出a_n=2ⁿ．
（2）由b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ，利用错位相减法能求出{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项积为T_n，T_n=2

n(n+1)

2

（n∈N^*），
∴T_n=a₁×a₂×a₃×…×a_n=2

n(n+1)

2

，①
T_n-1=a₁×a₂×a₃×…×a_n-1=2

n(n-1)

2

，②

①

②

，得：a_n=2

n(n+1)

2

-

n(n-1)

2

=2ⁿ．
∴a_n=2ⁿ．
（2）∵b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ，
∴S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=-2+（1-n）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．