Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点A（0，1）和B（-1，0），且b²-4a≤0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）A，B两点的坐标带入函数f（x）便可得到c=1，b=a+1，而将b=a+1带入b²-4a≤0即可求得a=1，b=2，所以便得到f（x）=x²+2x+1；
（2）先求出g（x）=x²+（2-k）x+1，而根据g（x）在[-2，2]上是单调函数，便可得到-

2-k

2

≤-2，或-

2-k

2

≥2，解不等式即得k的取值范围．

解答： 解：（1）由题设得：f（0）=c=1，f（-1）=a-b+1=0，b=a+1；
代入b²-4a≤0，得（a+1）²-4a≤0，即（a-1）²≤0，解得a=1，b=2；
所以f（x）=x²+2x+1；
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1；
因为当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数；
所以-

2-k

2

≤-2或-

2-k

2

≥2；
解得，k≤-2，或≥6；
∴实数k的取值范围是（-∞，-2]∪[6，+∞）．

点评：考查函数图象上点的坐标和函数解析式的关系，完全平方式，以及二次函数的单调性．