Question

12．（文科学生做）已知函数f（x）=tanx-sinx，x∈（-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$）．
（1）比较f（-$\frac{π}{3}$），f（-$\frac{π}{4}$），f（$\frac{π}{4}$），f（$\frac{π}{3}$）与0的大小关系；
（2）猜想f（x）的正负，并证明．

Answer 1

分析 （1）将-$\frac{π}{3}$，-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$代入函数表达式求出函数值，判断即可；
（2）求出函数的导数，根据三角函数的性质求出函数的单调性，从而证出结论．

解答 解：（1）∵f（x）=tanx-sinx，
∴f（-$\frac{π}{3}$）=tan（-$\frac{π}{3}$）-sin（-$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜0，
f（-$\frac{π}{4}$）=tan（-$\frac{π}{4}$）-sin（-$\frac{π}{4}$）=-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜0，
f（$\frac{π}{3}$）=tan$\frac{π}{3}$-sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＞0，
f（$\frac{π}{4}$）=tan$\frac{π}{4}$-sin$\frac{π}{4}$=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0；
（2）由（1）猜想，
x∈（-$\frac{π}{2}$，0）时，f（x）＜0，x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f（x）＞0
x=0时，f（x）=0．
证明如下：f′（x）=$\frac{1{-cos}^{3}x}{{cos}^{2}x}$，
∵x∈（-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$），∴cosx∈（0，1]，
∴f′（x）≥0，
∴f（x）在（-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$）递增，计算得f（0）=0，
∴x∈（-$\frac{π}{2}$，0）时，f（x）＜0，
x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f（x）＞0
x=0时，f（x）=0．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及三角函数的性质，是一道中档题．