题目内容

2.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为4$\sqrt{3}$.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点(m,0)(m>$\sqrt{6}$)且斜率为-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$的直线l交椭圆于C,D两点,F为椭圆的右焦点,如果|CD|2=4|FC|•|FD|,求∠CFD的大小.

分析 (1)由离心率可得a,b的关系,再由连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为$4\sqrt{3}$,得到a,b的另一关系,联立求出a,b得答案;
(2)由题意得直线l的方程为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-m)(m>\sqrt{6})$,联立直线方程与椭圆方程,由△>0求出m的范围,再利用根与系数的关系求出C,D两点横坐标的和与积,进一步把|CD||FC|用含有m的代数式表示,结合|CD|2=4|FC|•|FD|求得m=3,可得$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}=({x}_{1}-2)({x}_{2}-2)+{y}_{1}{y}_{2}$=$\frac{4}{3}{x}_{1}{x}_{2}-\frac{m+6}{3}({x}_{1}{+x}_{2})+\frac{{m}^{2}}{3}+4$=$\frac{2({m}^{2}-3m)}{3}=0$.
则∠CFD的大小可求.

解答 解:如图,
(1)∵$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,∴$a=\sqrt{3}b$,
又连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为$4\sqrt{3}$,
∴$2ab=4\sqrt{3}$,即$ab=2\sqrt{3}$,
∴a2=6,b2=2,因此椭圆的方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$;
(2)由题意得直线l的方程为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-m)(m>\sqrt{6})$,
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-m)}\end{array}\right.$,得2x2-2mx+m2-6=0.
由△=4m2-8(m2-6)>0,解得$-2\sqrt{3}<m<2\sqrt{3}$.
又m$>\sqrt{6}$,∴$\sqrt{6}<m<2\sqrt{3}$,
设C(x1,y1),D(x2,y2),
则${x}_{1}+{x}_{2}=m,{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}-6}{2}$,
∴|CD|=$\sqrt{1+(-\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}}•\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{3}•\sqrt{12-{m}^{2}}$.
又∵|FC|=$\sqrt{({x}_{1}-2)^{2}+{{y}_{1}}^{2}}=\sqrt{({{x}_{1}}^{2}-4{x}_{1}+4)+\frac{6-{{x}_{1}}^{2}}{3}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}(3-{x}_{1})$.
|FD|=$\sqrt{({x}_{2}-2)^{2}+{{y}_{2}}^{2}}=\sqrt{({{x}_{2}}^{2}-4{x}_{2}+4)+\frac{6-{{x}_{2}}^{2}}{3}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}(3-{x}_{2})$.
|FC||FD|=$\frac{2}{3}(3-{x}_{1})(3-{x}_{2})=\frac{2}{3}[{x}_{1}{x}_{2}-3({x}_{1}+{x}_{2})+9]$=$\frac{1}{3}({m}^{2}-6m+12)$.
由|CD|2=4|FC|•|FD|,得$\frac{4}{3}(12-m)^{2}=\frac{4}{3}({m}^{2}-6m+12)$,解得m=0或m=3.
又$\sqrt{6}<m<2\sqrt{3}$,∴m=3,
又∵$\overrightarrow{FC}=({x}_{1}-2,{y}_{1}),\overrightarrow{FD}=({x}_{2}-2,{y}_{2})$,
且${y}_{1}{y}_{2}=[-\frac{\sqrt{3}}{3}({x}_{1}-m)]•[-\frac{\sqrt{3}}{3}({x}_{2}-m)]$=$\frac{1}{3}{x}_{1}{x}_{2}-\frac{m}{3}({x}_{1}+{x}_{2})+\frac{{m}^{2}}{3}$.
∴$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}=({x}_{1}-2)({x}_{2}-2)+{y}_{1}{y}_{2}$=$\frac{4}{3}{x}_{1}{x}_{2}-\frac{m+6}{3}({x}_{1}{+x}_{2})+\frac{{m}^{2}}{3}+4$=$\frac{2({m}^{2}-3m)}{3}=0$.
∴∠CFD=90°.

点评 本题考查椭圆方程的求法,考查了椭圆的简单性质,考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,涉及直线与圆锥曲线的关系问题,常采用把直线方程和圆锥曲线方程联立,利用根与系数的关系求解,训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用,是压轴题.

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