Question

14．已知m∈R，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|，}&{x＜1}\\{lg（x-1），}&{x＞1}\end{array}\right.$，g（x）=x²-2x+2m-2，若函数y=f（g（x））-m有6个零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （$\frac{3}{4}$，1）
• C． （$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$）
• D． （0，$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|，}&{x＜1}\\{lg（x-1），}&{x＞1}\end{array}\right.$的图象，从而可得方程x²-2x+3m-1=0、x²-2x+m-1=0与x²-2x+2m-3-10^m=0都有两个不同的解，从而解得．

解答 解：作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|，}&{x＜1}\\{lg（x-1），}&{x＞1}\end{array}\right.$的图象如下，
，
由图象可知，当0＜m＜2时，f（u）-m=0有三个不同的解，
即|u+1|=m或lg（u-1）=m，
故u=-1-m或u=-1+m或u=1+10^m，
故g（x）=x²-2x+2m-2=-1-m或x²-2x+2m-2=-1+m或x²-2x+2m-2=1+10^m，
故x²-2x+3m-1=0或x²-2x+m-1=0或x²-2x+2m-3-10^m=0，
∵函数y=f（g（x））-m有6个零点，
∴方程x²-2x+3m-1=0、x²-2x+m-1=0与x²-2x+2m-3-10^m=0都有两个不同的解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{△}_{1}=4-4（3m-1）＞0}\\{{△}_{2}=4-4（m-1）＞0}\\{{△}_{3}=4-4（2m-3-1{0}^{m}）＞0}\end{array}\right.$，
解得，m＜$\frac{2}{3}$，
故0＜m＜$\frac{2}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查了分段函数的应用及二次方程的判别式的应用，难点在于复合函数的应用．