Question

8．四面体ABCD中，AB和CD为对棱．设AB=a，CD=b，且异面直线AB与CD间的距离为d，夹角为θ．
（Ⅰ）若θ=$\frac{π}{2}$，且棱AB垂直于平面BCD，求四面体ABCD的体积；
（Ⅱ）当θ=$\frac{π}{2}$时，证明：四面体ABCD的体积为一定值；
（Ⅲ）求四面体ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）根据异面直线的距离的定义结合三棱锥的体积公式进行求解即可．
（2）找出异面直线AB，CD的公垂线，结合三棱锥的体积公式进行证明即可．
（3）根据锥体的体积公式进行求解．

解答 证明：（1）如图5-2，由于棱AB⊥平面BCD，过B作CD边上的高BE，
则AB⊥BE，CD⊥BE，
故BE是异面直线AB与CD的距离，即d=BE．
所以V_A-BCD=$\frac{1}{3}$AB•S_△BCD=$\frac{1}{3}$a$•\frac{1}{2}b•d$=$\frac{1}{6}$abd．


（2）如图5-3，过A作底面BCD的垂线，垂足为O，连结BO与CD相交于E．连结AE，
再过E作AB的垂线，垂足为F．
因为AB⊥CD，所以BO⊥CD（三垂线定理的逆定理），
所以CD⊥平面ABE，
因为EF?平面ABE，
所以CD⊥EF，
又EF⊥AB．
所以EF即为异面直线AB，CD的公垂线．
所以EF=d．注意到CD⊥平面ABE．
所以V_A-BCD=$\frac{1}{3}$CD•S_△ABE=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$AB•EF•CD=$\frac{1}{6}$abd为定值．
（3）如图5-4：将四面体ABCD补成一个平行六面体ABB'D'-A'CC'D．
由于AB，CD所成角为θ，
所以∠DCA'=θ，
又异面直线AB与CD间的距离即上、下两底面AB'，A'C'的距离，
所以V_{ABB'D'-A'CC'D}=$\frac{1}{2}$absinθ×2d=abdsinθ．
显然V_A-BCD=$\frac{1}{6}$V_{ABB'D'-A'CC'D}=$\frac{1}{6}$abdsinθ．

点评 本题主要考查空间几何体的体积的计算，根据相应的体积公式以及异面直线的距离是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．