Question

19．已知命题P：方程x²+kx+4=0有两个不相等的负实数根；命题q：过点（1，2）总可以作两条直线与圆x²+y²+kx+2y+k²-15=0相切，若p∨q”为真，p∧q为假，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 若p∨q”为真，p∧q为假，则p，q一真一假，进而答案．

解答 解：对于P：$\left\{{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{x_1}+{x_2}＜0}\\{{x_1}{x_2}＞0}\end{array}}\right.$，则得k＞4（2分）
对于q：把圆的方程化为标准方程得（x+$\frac{k}{2}$）²+（y+1）²=16-$\frac{3k2}{4}$
所以16-$\frac{3k2}{4}$＞0，解得-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
由题意知点（1，2）应在已知圆的外部，
把点代入圆的方程得1+4+k+4+k²-15＞0，
即（k-2）（k+3）＞0，解得k＞2或k＜-3，
则实数k的取值范围是-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$＜k＜-3，或2＜k＜$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．（7分）
若p∨q”为真，p∧q为假，则p，q一真一假
（1）p为真，q为假时，易得k∈（4，+∞）．（9分）
（2）p为假，q为真时，易得$k∈（-\frac{8\sqrt{3}}{3}，-3）∪（2，4]$（11分）
所以所求实数m的取值范围是$k∈（-\frac{8\sqrt{3}}{3}，-3）∪（2，+∞）$（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，方程根的个数，直线与圆的位置关系等知识点，难度中档．