Question

18．给出定义：若m-$\frac{1}{2}$＜x≤m+$\frac{1}{2}$（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作[x]=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-[x]|的四个结论：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，$\frac{1}{2}}$]；
②函数y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{k}{2}$（k∈Z）对称；
③函数y=f（x）是偶函数；
④函数y=f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}}$]上是增函数，其中正确的结论的序号是（　　）

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ②③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域，然后根据解析式易用分析法求出函数的值域；根据f（k-x）与f（-x）的关系，可以判断函数y=f（x）的图象是否关于直线x=$\frac{K}{2}$（k∈Z）对称；再判断f（-x）=f（x）是否成立，可以判断③的正误；而由①的结论，易判断函数y=f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上的单调性，但要说明④不成立，我们可以举出一个反例．

解答 解：①中，令x=m+a，a∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
∴f（x）=|x-[x]|=|a|∈[0，$\frac{1}{2}$]
故①正确；
②中∵f（k-x）=|（k-x）-[k-x]|=|（-x）-[-x]|=f（x），
所以关于x=$\frac{K}{2}$对称，故②正确；
③中，∵f（-x）=|（-x）-[-x]|=|x-[x]|=f（x），
所以f（x）为偶函数，故③正确；
④中，x=-$\frac{1}{2}$时，m=-1，f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，x=$\frac{1}{2}$时，m=0，
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$所以f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）故④错误．
故选：A

点评 本题考查的知识点是利用函数的三要素、性质判断命题的真假，我们要根据定义中给出的函数，结合求定义域、值域的方法，及对称性、周期性和单调性的证明方法，对4个结论进行验证．