Question

已知椭圆x²+（m+3）y²=m（m＞0）的离心率e=

3

2

，求m的值及椭圆的长轴长，短轴长、焦点坐标及顶点坐标．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出a，b，c，由e=

3

2

，得

m+2 m(m+3)

=

3

2

，求出m的值，从而求出椭圆的方程，及椭圆的长轴长，短轴长、焦点坐标及顶点坐标．

解答： 解：椭圆方程可化为

x2

m

+

y2

m m+3

=1，
因为m-

m

m+3

=

m(m+2)

m+3

＞0，所以m＞

m

m+3

，
即a²=m，b²=

m

m+3

，c=

a2-b2

=

m(m+2) m+3

，
由e=

3

2

，得

m+2 m(m+3)

=

3

2

，解得m=1，
所以a=1，b=

1

2

，椭圆的标准方程为x²+

y2

1 4

=1，
所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1，四个顶点的坐标分别为 A₁（-1，0），A₂（1，0），B₁（0，-

1

2

），B₂（0，

1

2

）．

点评：本题考查了椭圆的性质及椭圆的长轴长，短轴长、焦点坐标及顶点坐标．