Question

在△ABC中，AB=2，∠C=

π

4

，cos

B

2

=

2 5

5

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：由条件利用二倍角公式求得cosB的值，可得sinB的值，进而求得sinA=sin（B+C）的值，再利用正弦定理求得AC、BC的值，可得△ABC的面积

1

2

AC•BC•sinC 的值．

解答： 解：△ABC中，由cos

B

2

=

2 5

5

，求得cosB=2cos2

B

2

-1=

3

5

，∴sinB=

4

5

，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

4

5

×

2

2

+

3

5

×

2

2

=

7 2

10

．
由正弦定理可

AB

sinC

=

AC

sinB

=

BC

sinA

，即

2

2 2

=

AC

4 5

=

BC

7 2 10

．
求得AC=

8 2

5

，BC=

14

5

，故△ABC的面积为

1

2

AC•BC•sinC=

1

2

×

8 2

5

×

14

5

×

2

2

=

56

25

．

点评：本题主要考查二倍角公式、诱导公式、两角和的正弦公式、正弦定理的应用，属于中档题．